How was the Beckmann model constructed

说个暴论: Beckmann模型是通过逆向思维尝试出来的

Wardrop基于物理现象给了一个命题，大致意思是：当交通网络处于均衡状态的时候，任意两个OD对之间被选择的路径的阻抗相等，未被选择的路径的阻抗不会低于被选择的路径的阻抗。

四阶段法把在做交通分配的时候，如果得到的分配结果满足Wardrop给的这个命题，这样的分配就叫做user equilibrium分配。Beckmann干了一件很漂亮的事情，他设计了一个模型，这个模型的最优解一定满足Wardrop给的那个命题。

$\begin{align} & \text{[Beckmann]}\quad \text{Minimize}\quad \sum_{a}\int_{0}^{x_{a}}t_{a}(\omega)d\omega,\\ & \text{Subject to} \nonumber \\ & \sum_{k}f_{odk}=q_{od},\quad \forall o,d\\ & x_{a} = \sum_{o}\sum_{d}\sum_{k}f_{odk}\delta_{oda},\quad \forall a\\ & f_{odk}\ge 0 ,\quad\forall o,d,k \end{align}$ Beckmann模型具体长啥样都不重要了，资料多得很，咱这篇文章关键来看看Beckmann当初是咋设计出这样一个模型的，这很有意思！

这个模型是参考kkt条件凑出来的。假设我们不知道Beckmann模型目标函数的形式，直接记作，我们假设H是凸的，那么Beckmann模型就是凸优化，kkt条件就是取最优解的充要条件，一顿推导有：

这里符号写错了，不是而是

这么转换一下，要保证Beckmann模型的最优解满足Wardrop的命题就等价于找到一个凸函数，这个凸函数对的导数得恰好等于od对路径k的阻抗。Beckmann把这个函数找到了，就是路段阻抗的变上限积分，设符号表示路径包含的路段集合：

$\begin{align} \partial{H}/\partial{f_{odk}}&=\partial{\sum_{a}\int_{0}^{x_{a}}t_{a}(\omega)d\omega}/\partial{f_{odk}}\\ &=\sum_{a}t_{a}(\omega)\frac{dx_{a}}{df_{odk}}\\ &=\sum_{a\in A_{k}}t_{a}(\omega) \end{align}$